Юрий Калитвинцев родился 5 мая 1968 года в Волгограде. В чемпионатах СССР выступал за волгоградский «Ротор» (1985-1986, 1988-1991) и ростовский СКА (1986-1988, в качестве армейской службы). 

В конце 1991 года Юрий перешёл в московское «Динамо», в составе которого дважды стал бронзовым призёром чемпионата России (1992, 1993). Начало сезона-1994 отыграл в дубле «Динамо» в третьей лиге, а остаток сезона - в нижегородском «Локомотиве». Несмотря на полученный в конце сезона в матче с владикавказским «Спартаком» перелом ноги, был приглашён в киевское «Динамо» лично президентом клуба Григорием Суркисом, отклонив предложение московского «Торпедо». Юрий Калитвинцев считался «дирижером» в ансамбле Валерия Лобановского. 

В 1998 году перешёл в турецкий «Трабзонспор», но покинул команду через несколько месяцев из-за невыплаты зарплаты. Карьеру футболиста закончил в 2000 году в киевском ЦСКА. 

Калитвинцев сменил российское гражданство на украинское, за сборную Украины провёл 22 матча, забил один гол. 

В качестве тренера работал с клубом «Закарпатье» (Ужгород) (2001-2002) и с юношеской сборной Украины (2003-2006). 

С 2007 года тренирует совместно с Геннадием Литовченко команду «Динамо-2» (Киев), выступающую в первой лиге. 

Достижения 

Четырёхкратный чемпион Украины (1995-1998).

Двукратный обладатель Кубка Украины (1996, 1998).

Двукратный обладатель Кубка чемпионов Содружества (1997, 1998).

Обладатель награды украинский футболист года (1995).